皮亚诺公理（Peano axioms）是一组定义自然数的公理，由意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）在19世纪末提出。这些公理为算术提供了一个严格的逻辑基础，并且是现代数学中整数理论的基石。皮亚诺公理包括以下几条：

1. 存在性公理：0是一个自然数。
2. 等价性公理：每个自然数a都有一个后继数a’，a’也是一个自然数。
3. 区分性公理：0不是任何自然数的后继数。
4. 单射性公理：如果自然数a和b的后继数相等，即a’ = b’，则a = b。
5. 归纳性公理：任何包含0且对于任何自然数a，如果它包含a，则也包含a’的自然数集合必须包含所有自然数。

这些公理定义了自然数的基本属性，并允许通过数学归纳法来证明关于自然数的命题。在这些公理的基础上，可以定义加法和乘法等算术运算，并证明1+1=2等基本算术事实。

具体来说，加法可以通过后继数的概念来定义：

• a + 0 = a
• a + b’ = (a + b)’

其中，a和b是自然数，b’是b的后继数。通过这些定义，我们可以证明1+1=2，其中1定义为0的后继数，即1 = 0’，2定义为1的后继数，即2 = 1’。因此，1+1可以按照定义展开为0′ + 0’，根据加法的定义，这等于(0 + 0)’，而0 + 0根据定义等于0，所以1+1最终等于2。

皮亚诺公理的重要性在于它们为数学提供了一个坚实的逻辑基础，使得数学家可以在这些公理之上构建更复杂的数学结构和理论。

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