人人为我为人人

期望运算性质

12 月 21, 2021

—

由

转自：期望、方差的性质 – 知乎 (zhihu.com)

期望定义

离散型：

设随机变量X，概率为 P( $X=x_i$ )= $p_i$ , $i\in Z$

则： $E(X)=\sum_{i}^{n}{x_i}p_i$ 也称为随机变量X的均值，记做 $\bar{X}$

连续型：

设随机变量X，概率密度为 $f(x)$ 若积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$ 绝对收敛

则： $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$ 也称为随机变量X的均值，记做 $\bar{X}$

期望的性质：

1、E(C)=C ， C是常数。

2、 $E(aX)=aE(X)$ , a是常数，另 $E(EX)=EX,E(EX^2)=EX^2$

3、 $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$

$E(\sum_{i}^{n}{a_i}X)=\sum_{i}^{n}{a_i}E(X)$

4、若X，Y相互独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$

求和公式的性质

1、 $S = \sum_{i=1}^{n}a =na , a\in Z$

2、 $S=\sum_{i=1}^{n}i=\sum_{i=1}^{n}(n+1-i)=\frac{n(n+1)}{2}$

证明: 设： $2S = \sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}(n+1-i)=n(n+1)$ , 所以: $S=\frac{n(n+1)}{2}$

3、 $\sum_{i=a}^{b}[f(j)-f(j-1)]=f(b)-f(a-1)$

方差的定义

设X为随机变量，若 $E(X-EX)^2$ 存在，则称为随机变量X的方差，记作DX 或Var(X)

即:

$DX=Var(X)=E[(X-EX)^2]$

标准差定义 $\sqrt{DX}=E(E-EX)$

离散型：

$DX=E[(X-EX)^2]=\sum_{i}(x_i-EX)^2p_i=\sum_{i}(x_i^2-2x_iEX+EX^2)p_i$

连续型：

$DX=E[(X-EX)^2]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-EX)^2f(x)dx$

方差的性质

1 $DX\geq0$ 若 C 是常数 DC=0

2 $D(CX)=C^2D(X)$

3 $D(aX+bY) = a^2D(X)+b^2D(Y)+2abE(X-EX)(Y-EY)$

若 X,Y相互独立，则 $D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY$

4 $D( X+b) = D(X)$ 其中b是常数

5 $D(aX+b) = a^2D(X)$

6 $D(X) = E(X^2)-E^2(X)$

7 $D(\sum_{j=1}^{t}{u_j}) = \sum_{j=1}^{t}{D(u_j)}$ , $u_t$ 纯随机，服从正态分布的随机变量。从【现代时间序列分析】书里看到

第6项推导：

$D(X) = E[ ( X -E(X))^2] = （1）$

$E[ X^2-2XE(X)+E(X)^2]= （2）$

$E(X^2)-2E(XE(X))+E(X)^2= E(X^2)-2\mu E(X) + E(X)^2 = （3）$

$E(X^2)-2E(X)^2+E(X)^2=E(X^2)-E(X)^2$

上述式中 $\mu$ 是E(X), 这里引入为了更容易理解。

注： $E[ 2XE(X) ] = 2E(X)E(X) = 2E(X)^2$ 常数的平方还是常数